عرض حول أنظمة العد

مقدمـــــــــة

-I بعض أنظمـــــــة العـد

      1- العد المصــري

      2- العد البابلـــي

      3- العد الروماني

      4- نظمــــات العد الحالي

            أ- تعريف أساس نظمــة

            ب- نظام العد العشـــري

            ج- نظام العد الثنائـــي

            د- نظام العد الثمانـــي

-II تغييـــــر الأســـاس

      كيفية المرور من نظمـة إلى أخرى

تطبيقـــــــــــــات

-III الترتــــيب و العمليـــــــات

      1- الترتيب

      2- العمليات

            أ- الجمــع

            ب- الطـرح

مقدمـــــــــــــة:

      اخترع الإنسان اللغة من أجل التواصل و التعبير عن أفكاره و أحاسيسه. كما اخترع الأعداد لغرض حل مشاكله الخاصة في حياته اليومية و يتعامل بها مع الآخرين للأخذ و العطاء و للبيع و الشراء، لكن قد يحدث أن يقع الإنسان في وضعية تتطلب منه كتابة أعداد كبيرة بعدد رموز قليل، لهذا الغرض اخترع نظام العد.

         ونظام العد هذا هو طريقة التعامل مع رسوم الأرقام للتعبير عن قيمتها و كيفية تطبيق العمليات الحسابية عليها. و قد خضعت الأعداد و أنظمة العد لعوامل الزمان و البيئة، وتحدثنا صفحات التاريخ عن نظم عددية مختلفة ارتبط جل منها بحضارة من الحضارات القديمة و أهمها حضارات البابليين و الإغريق و الرومان و الهنود و العرب و المصريين.

أولا: بعـــــض أنطمـــة العد.

         1- العد المصـــــــــري:

                   لكتابة الأعداد كان المصريون يستعملون الكتابات الهيروغليفية، و كان أساس العد عندهم هو 10. و هذه بعض الرموز التي يستعملونها و قيمتها في نظمة العد العشري الحالي:

أو هكذا لتسهيل الكتابة و تبسيطها:

 

تطبيــــــــــق:

1- أكتب باستعمال رموز العد المصري الأعداد التالية في نظمة العد العشري الحالي:

46     = ……………….….                   1995 = ………..………….

2010 = …………………..                 51428 = …………………….

        

   2- أوجد قيمة الأعداد التالية في نظمة العد العشري الحالي:

2- العد البابلــــــــــي:

     اهتم البابليون كثيرا بالحساب الفلكي و كانوا يستعملون رمزين فقط في نظام العد عندهم و هما:

و لتسهيل الكتابة نكتب:    = 1    و  > = 10.

 ورسموهم تكتب في مجموعات يعبر تتابعها عن ضرب كل مجموعة في ستين مرفوعة لقوة مقدارها ترتيب المجموعة ابتداء من الصفر، تماما كما في النظام العشري حيث بدلنا فيه المجموعات بالخانات. (النظمة الستينية)

نبدأ من اليمين و بالتالي فهذا العدد يساوي في العد الحالي:

24*60⁰ + 52*60¹ + 21*60² = 24 + 3120 + 75600

                                        = 78744

أما إذا كان العكس يعني لكتابة العدد 136 في العد البابلي، نقوم بالقسمة المتتالية للعدد 136 على 60 و الباقي حسب الدرجات. الباقي الأول يمثل عدد المجموعة الأولى على اليمين 

             

و هذا صحيـح.

3- العد الرومانـــــــــي:

استعمل الرومان رموزا خاصة بهم، تكتب جنبا إلى جنب، و لا يمكن كتابة الرمز أكثر من 3 مرات متتالية جنبا إلى جنب.

إذا كان الرمزان مكتوبان جنبا إلى جنب و كان الأصغر على اليسار فإنه يطرح من الأكبر : IX= 10 -1= 9 ، بينما يضاف له إذا كان على اليمين: VI = 5 +1 = 6 , XI= 10+1=11 .

هذه بعض الرموز المستعملة:

I	V	X	L	C	D	M
1	5	10	50	100	500	1000

للتعبير عن الأعداد الكبيرة يستعمل الخط العلوي على الرمز، و يعني مضاعفته بـ 1000، وبهذا:

M‾	D‾	C‾	L‾	X‾	V‾
1000000	500000	100000	50000	10000	5000

مثـــــــال:

العدد 4 يكتب IV. و العدد 1952 يكتب MCMLII والعدد 487 يكتب  CDLXXXVII.

تطبيــــــق: 1- اكتب بالعد الروماني ما يلي:

36 = ……………..     .     425 = …………………

2019 = …………….. .        1555999 = …………

4- نظمات العد الحالـــي:

مما سبق يتبين مدى صعوبة التعامل مع رموز الأعداد للتعبير عن قيم كبيرة و بالتالي فنظمات العد الحالي تقدم لنا تسهيلات حقيقية لكتابة أعداد و تطبيق العمليات عليها. و ترتكز هذه النظمات على قاعدتين أساسيتين، الأولى هي قاعدة التجميع و المبادلة و الثانية هي كتابة الرموز من اليمين إلى اليسار. و نظام العد العشري هو الأكثر شيوعا و هو الذي نستعمله حاليا و بكثرة في معاملاتنا اليومية. و نجد إلى جانبه كذلك نظمات عد أخرى: العد الثنائي، العد الخماسي، العد الثماني، العد الثنائي عشري، العد السداسي عشري...

أ‌-      تعريف أساس نظمــة:

عدد الرموز المستعملة في نظمة من أنظمة العد تسمى أساس هذه النظمة، و هو عدد الوحدات من نفس الرتبة التي يجب تجميعها لتكون وحدة من الرتبة التي تليها مباشرة (أكبر منها مباشرة). و لهذا فبتغيير أساس نظمة معينة فإننا نحصل على نظمة أخرى مخالفة.

ب‌- نظمة العد على الأساس 10:

تسمى هكذا " نظمة العد العشري" لأن عدد الأرقام المستعملة فيها هو 10 وهي: 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9.

و القاعدة في هذه النظمة: 10 وحدات من رتبة معينة تكون وحدة واحدة من الرتبة الموالية العليا.

مثـال:   نكتب عدد عناصر هذه المجموعة بالعد العشري: أحسب card(A)

         ج- نظام العــد الثنائي:

هذا النظام يستعمل في الحاسوب و في الدارات الكهربائية بشكل مباشر لمعرفة تعليمات البرمجة. و الأرقام المستعملة هي: 0 و 1.

مثال:  لنعد كتابة عدد عناصر نفس المجموعة السابقة (A) و لكن في هذا النظام.

الطريقة الأولى: التجميع و المبادلات

القاعدة في هذه النظمة: وحدتان من رتبة معينة تكون وحدة واحدة من الرتبة العليا الموالية.

************************ ******************** ************		******** ******** ******** ****	**** **** **** **	** ** ** *	** *	*
الباقـي	0	0	0	1	1	1

إذن بعد تجميع اثنتين اثنتين و استبدالها بوحدة من الرتبة الموالية نحصل على:

Card(A)= 111000² = 111000₂ = 111000_b

ثانيـا: تغييـــــر الأســـاس

الحالة الأولى: الانتقال من نظمة العد العشري الى نظمة العد غير العشري.

بصفة عامة: A عدد مكتوب في نظمة العد العشري لكتابته في نظمة عد ذات الأساس m، فإننا نقوم بقسمات متتالية للعدد A على العدد m و خوارج هذه القسمات على العدد m حتى يصبح الخارج منعدما، و بواقي هذه القسمات جنبا الى جنب من اليمين إلى اليسار بالتتابع تمثل كتابة العدد A في نظمة العد ذات الأساس m.

مثـال: نكتب العدد 136₁₀ في نظمة العد الرباعي (4):

نقوم بالقسمات المتتالية ل 136 على 4 و r هو الباقي في كل قسمة.

136 :4=34 (r₀=0) ; 34 :4=8 (r₁=2) ; 8 :4=2 (r₂=0) ; 2 :4=0 (r₃=2).       

و منــــه:                                                       136¹⁰= r₃r₂r₁r₀⁴= 2020⁴

الحالة الثانية: الانتقال من نظمة العد غير العشري إلى نظمة العد العشري.

عموما: إذا كان عدد مكتوبا في نظمة عد غير عشري و نريد كتابته في نظمة عد عشري فإننا نقوم بجمع جداءات رتب العدد من اليمين في قوى متتالية، بدءا من الصفر، لأساس النظمة.

مثـال:

1253⁶= 3*6⁰ + 5*6¹ + 2*6² + 1*6³

         = 3 + 5*6 + 2*36 + 1*216    

         = 3 + 30 + 72 + 216            

         = 321                                  

 

2014⁵= 4*5⁰ + 1*5¹ + 0*5² +2*5³

         = 4 + 5 + 0 + 2*125

         = 4+5+250

         = 259

الحالة الثالثة: الانتقال من نظمة عد غير عشري إلى نظمة عد غير عشري أخرى.

يمكن الانتقال مباشرة و لكن لنا كمبتدئين نقترح الطريقة السهلة التي تمكننا من هذا الانتقال وهي الجمع بين الطريقتين السابقتين أعلاه، أي أننا نقوم أولا بتحويل العدد إلى نظمة العد العشري ثم بعد ذلك نحوله إلى نظمة العد غير العشري المطلوبة.

مثـال: نكتب العدد 2134⁵ في نظمة العد الرباعي (4).

2134⁵  = 4*5⁰+ 3*5¹+ 1*5²+ 2*5³

           = 4*1+ 3*5+ 1*25+ 2*125

           = 4+15+25+250

           = 294₁₀

ثم نقوم بالقسمات المتتالية للعدد 294 على 4.

294 :4=73 (r₀=2) ; 73 :4=18 (r₁=1) ; 18 :4=4 (r₂=2) ; 4 :4=1 (r₃=0) ; 1 :4=0 (r₄=1).

و منــــه:                                                 294¹⁰= r₄r₃r₂r₁r₀⁴= 10212⁴

و بالتالـــي:                                                              = 10212⁴ 2134⁵

ثالثـا: الترتــــيب و العمليــــــات

1- المقارنة و الترتيب

الحالة الأولى:

" إذا كان عددان مكتوبين في نفس النظمة و كان عدد أرقامهما مختلفين، فمقارنتهما تكون بمقارنة عدد أرقامهما و هذا يعني أن أكبرهما هو الذي يتوفر على أكبر عدد من الأرقام و العكس صحيح ".

مثـال:3012⁴ < 20010⁴    و كذلــك: 322451⁷ > 62500⁷

لأن:       5      >     4           و            5      <      6

الحالة الثانية:

" إذا كان عددان مكتوبين في نفس النظمة و كان لهما نفس عدد الأرقام. فلمقارنتهما نبدأ بمقارنة الأرقام من الرتب الكبيرة أي من اليسار إلى اليمين رقما برقم حتى نحصل على رقمين مختلفين و بالتالي مقارنتهما تحدد مقارنة العددين الأولين، و إن لم يكن فالعددان متساويان ".

مثـال:  نقارن العددين 24517⁸ … 24527⁸ ،     العددان يتكونان من نفس عدد الأرقام (5) و بالتالي  لمقارنتهما سنعمل بالحالة الثانية و بذلك لدينا: 2=2 و 4=4 و 5=5 و 2>1                  إذن:    24527⁸ > 24517⁸

الحالة الثالثة:

" إذا كان عددان مكتوبين في نظمتين ذات أساسين مختلفين، في هذه الحالة سنحولهما أولا إلى نفس النظمة و من الأحسن تحويلهما معا إلى نظمة العد العشري، ثم نتبع نفس الطريقة أعلاه أي الحالة الأولى في حالة اختلافهما في عدد الأرقام و الحالة الثانية في حالة تساويا في عدد الأرقام المكونة لهما ".

مثـال: نقارن العددين التاليين: 5134⁹ ….. 10110101²

أولا فالعددان مكتوبان في نظمتين ذات أساسين مختلفين

إذن سنحول 10110101² إلى نظمة العد 9 أو سنحول 5134⁹  إلى نظمة العد 2. و من السهل و الأحسن تحويلهما معا إلى نظمة العد العشري:

10110101²  = 1*2⁰ + 0*2¹ + 1*2² + 0*2³ + 1*2⁴ + 1*2⁵ + 0*2⁶ + 1*2⁷

= 1 + 0 + 4 + 0 + 16 + 32 + 0 + 128 = 161                 

5134⁹    = 4*9⁰ + 3*9¹ + 1*9² + 5*9³                                        

= 4 + 27 + 81 + 3645   =   3757                                

تم نقارن الناتج: لدينا 161 <  3757  إذن:  10110101² < 5134⁹

2- العمليـــات:

أ- الجمــع

لإجراء عملية الجمع  و بالتالي حساب مجموع عددين مكتوبين في نظمة عد معينة نتبع نفس الطريقة في نظمة العد العشري لكن مع الأخذ بعين الاعتبار أساس النظمة.

مثـلا: إذا كنت متمرسا يمكن إجراء العملية مباشرة و إلا فستعمد إلى تحويل العددين إلى نظمة العد العشري و بعده تحول المجموع إلى نظمة ذات الأساس المقدم. و هذا سيتطلب وقتا أطول.

	31327 210                                                                             47 +     1     =		34657 35147 +       2   =

 

 -aسنشرح العملية الأولى:

31327 21047 +                                                                                                                              52367 =

وهي عملية بدون احتفاظ لان المجاميع من نفس الرتبة تكون أصغر من أساس النظمة (7).

3+2=5 ; 1+1=2 ; 3+0=3 ; 2+4=6, ، و منــه:   3132⁷+2104⁷= 5236⁷

 -bسنشرح العملية الثانية:

34657 35147 +                                                                                                                        103127 =

و هي عملية بالاحتفاظ لان المجاميع من نفس الرتبة تكون أكبر من أساس النظمة (7).

§        أ:  5+4=9، و لكن يجب ألا ننسى أن العملية في نظمة ذات الأساس 7، و منه سنأخذ منها 7 واحدة لنستبدلها إلى الرتبة الموالية و ستبقى 2، إذن نكتب 2 و نحتفظ ب 1.

§        ب:  6+1+1=8، نأخذ منها 7 واحدة و سيبقى 1، إذن نكتب 1 و نحتفظ ب1.

§        ج:  4+5+1=10، نأخذ منها سبعة واحدة و ستبقى 3، إذن نكتب 3 و نحتفظ ب 1.

§        د:  3+3+1=7، نأخذ منها سبعة واحدة و سيبقى 0، إذن نكتب 0 و نحتفظ ب 1.

§        ه:  0+0+1=1 ، 1 أصغر من 7 نكتب 1

ومنــه:       3465⁷+3514⁷= 10312⁷

ب- الطـرح

لإجراء عملية الطرح و بالتالي حساب فرق عددين مكتوبين في نظمة عد معينة نتبع نفس الطريقة في نظمة العد العشري لكن مع الأخذ بعين الاعتبار أساس النظمة.

مثـال: ننجز العمليات التالية:

	32324 21024 -                                                                                  1     =		31324 23034 +      2    =

 

                                                     

 -aسنشرح العملية الأولى:

32324 21024 -                                                                                                                             =11304

و هي عملية بدون احتفاظ لأن أعداد رتب المطروح منه أكبر من أعداد نفس الرتبة من المطروح.

3-2=1 ; 2-1=1 ; 3-0=3 ; 2-2=0 ، و منــه: 3232⁴ – 2102⁴ = 1130⁴

 -bسنشرح العملية الثانية:

31324 23034 -                                                                                                                        = 02234

و هي عملية بالاحتفاظ لأن بعض أعداد رتب المطروح منه أصغر من أعداد نفس الرتبة من المطروح.

1.    2-3 لا يمكن، إذن سنأخذ رتبة واحدة من الرتبة الموالية مباشرة (الزرقاء) فسيبقى لنا فيها 2 و نستبدلها بالرتبة الأصغر منها (الخضراء) و تصبح 6، لأنه في نظمة عد ذات الأساس 4، كل رتبة اكبر هي أربع وحدات من الرتبة الأصغر.                                                   ( أو نقول كما جرت العادة في نظمة العد العشري: نأتي ب 4 و ننزل ب 1)                   2-3 لا يمكن، تصبــح (4+2)-3 = 6-3=3 ،

2.    3-0 تصبح 2-0=2 لأننا أخذنا من 3 وحدة واحدة 1.

3.    1-3 لا يمكن إذن سنأخذ رتبة واحدة من الرتبة الموالية مباشرة (الحمراء) فسيبقى لنا فيها 2 و نستبدلها بالرتبة الأصغر منها (البرتقالية) و تصبح 5                                       1-3 لا يمكن، تصبــح (4+1)-3= 5-3=2

4.    3-2 تصبح 2-2=0 لأننا أخذنا من 3 وحدة واحدة 1.

و منــه:   3132⁴ – 2303⁴ = 0223⁴ = 223⁴

ملاحظـة هامـة:

" إذا كان عددان مقدمين في نظمتين مختلفتين فالعملية الأولى هي أولا توحيد الأساس تم تنجز العمليات كما رأينا أعلاه ".